[수학] 거리의 제곱의 합의 최솟값과 무게중심의 관계

최근에 모든 점으로부터 거리의 합이 최소가 되게 하는 점 (geometric median)에 대해 연구하다가,

모든 점으로부터 거리의 제곱의 합이 최소가 되게 하는 점 (geometric mean)을 증명하게 되었다.

보통 우리는 geometric mean을 무게 중심(center of mass)이라고 말한다.

그래서 geometric mean이 왜 center of mass인지, 

그리고 이 geometric mean이 geometric median에 어떤 영향을 줄 수 있을지 궁금하기도 했다.

그래서 과연 geometric mean이 왜 center of mass일까?

다음 그림은 여러분의 상상력을 위한 참고용 그림이다.

위의 그림이 아래의 수식에는 영향을 주진 않지만, 수식을 상상하는데 도움을 줄 것이다.

나는 다음과 같은 수식 를 어떤 점까지의 거리의 제곱의 합이라고 나타내었다.

다음과 같이 간단하게 제곱을 풀어준다.

그리고 다음과 같이 변수 x와 y에 대한 식으로 정리한다.

그리고 와가 x좌표들과 y 좌표들의 평균임을 이용하여,

, 로 각각 치환해준다.

우리가 변수 x와 y의 값을 조정하여 를 최소화 하려면,

이 부분을 0으로 만들어 상수를 제외한 부분을 모두 0으로 만들면 된다.

그러면 다음과 같이 정리된다.

또한 이 부분을 0으로 만들었으므로,

과 을 만족하므로,

임을 알 수 있다.

여러분은 x좌표가 x좌푯값들의 평균이고, y좌표가 y좌푯값들의 평균인 점은

무게중심(center of mass)이라는 사실을 이미 알고있다.

즉, 무게중심(center of mass)은 모든 점으로 부터의 거리의 제곱의 합을 최소로 만드는 점인 것이다.

유도 과정이 간단하니 조금만 생각하면 누구나 증명할 수 있을 것이다.